[R-CNN]边界框回归
在R-CNN算法中，使用SVM分类器对候选建议进行分类后，使用对应类别的边界框回归器（bounding-box regression）预测其坐标偏移值，这一操作能够进一步提高检测精度
定义
假定候选建议$P=(P_{x}, P_{y}, P_{w}, P_{h})$（$x,y$表示边界框中心坐标，$w,h$分别表示其宽和高）都有一个对应的标注边界框$G=(G_{x}, G_{y}, G_{w}, G_{h})$。$P$可经过转换得到近似$G$：
$$
\hat{G}{x} = P{w}d_{w}(P) + P_{x} \
\hat{G}{y} = P{h}d_{y}(P) + P_{y} \
\hat{G}{w} = P{w}exp(d_{w}(P)) \
\hat{G}{h} = P{h}exp(d_{h}(P))
$$
所以关键在于如何得到转换参数$d_{\ast}(P)$（其中$\ast=x,y,w,h$）。将CNN模型最后池化层输出的特征向量（$\varnothing_{5}(P)$）作为输入函数，进行线性建模：
$$
d_{\ast}(P) = w_{\ast}^{T} \varnothing_{5}(P)
$$
利用正则化最小二乘法（岭回归，就是均方误差+L2权重衰减）来求解该线性回归问题
$$
w_{\ast}=\argmin (\sum_{i}^{N}(t_{\ast}^{i} - \hat{w}{\ast}^{T} \varnothing{5}(P^{i})^{2})) + \lambda \left | \hat{w}_{\ast} \right |^{2}
$$
其中回归目标$t_{\ast}$通过预先设定的$(P, G)$计算得到
$$
t_{x} = (G_{x} - P_{x}) / P_{w} \
t_{y} = (G_{y} - P_{y}) / P_{h} \
t_{w} = \log(G_{w} / P_{w}) \
t_{h} = \log(G_{h} / P_{h})
$$
边界框回归器训练
在
R-CNN算法中，使用AlexNet作为CNN模型，其第5个池化层输出256*6*6大小特征向量，所以权重$w$大小为$9216\times 4$文章设置了候选建议和标注边界框的
IoU阈值为>0.6文章设置了超参数$\lambda=1000$
使用随机梯度下降方法训练权重$w$，其实现参考：R-CNN/py/bbox_regression.py