卷积神经网络推导-批量图片矩阵计算
之前推导LeNet-5网络输入单个图像数据的前后向传播，现在实现批量图像数据的前后向传播
计算符号
- $N$表示批量数据
- $C$表示深度
- $H$表示高度
- $W$表示宽度
- $output^{x}$表示第$x$层输出数据体
通道转换
使用OpenCV或PIL读取一张图片，保存为numpy ndarray结构，图像尺寸前3位分别表示长度、宽度和深度：$[H, W, C]$
批量处理图像数据相当于在深度上进行累加，为方便计算，先转换成深度、长度和宽度：$[C, H, W]$
网络输出
对输入层
$$
X\in R^{N\times C_{0}\times H_{0}\times W_{0}} = R^{N\times 1\times 32\times 32}
$$
对卷积层$C1$
$$
output^{(1)}\in R^{N\times C_{1}\times H_{1}\times W_{1}} = R^{N\times 6\times 28\times 28}
$$
对池化层$S2$
$$
output^{(2)}\in R^{N\times C_{2}\times H_{2}\times W_{2}} = R^{N\times 6\times 14\times 14}
$$
对卷积层$C3$
$$
output^{(3)}\in R^{N\times C_{3}\times H_{3}\times W_{3}} = R^{N\times 16\times 10\times 10}
$$
对池化层$S4$
$$
output^{(4)}\in R^{N\times C_{4}\times H_{4}\times W_{4}} = R^{N\times 16\times 5\times 5}
$$
对卷积层$C5$
$$
output^{(5)}\in R^{N\times C_{5}\times H_{5}\times W_{5}} = R^{N\times 120}
$$
对全连接层$F6$
$$
output^{(6)}\in R^{N\times C_{6}\times H_{6}\times W_{6}} = R^{N\times 84}
$$
对输出层$F7$
$$
output^{(7)}\in R^{N\times C_{7}\times H_{7}\times W_{7}} = R^{N\times 10}
$$
前向计算
输入层
$$
X\in R^{N\times 1\times 32\times 32}
$$
卷积层$C1$
共6个滤波器，每个滤波器空间尺寸为$5\times 5$，步长为$1$, 零填充为$0$
输出空间尺寸为$(32-5-2\cdot 0)/1+1=28$
所以单次卷积操作的向量大小为$1\cdot 5\cdot 5=25$，单个滤波器有$28\cdot 28=784$个局部连接，$N$张图片有$N\cdot 784$个局部连接
$$
a^{(0)}\in R^{(N\cdot 784)\times 25}\
W^{(1)}\in R^{25\times 6}\
b^{(1)}\in R^{1\times 6}\
\Rightarrow z^{(1)}=a^{(0)}\cdot W^{(1)}+b^{(1)}
\in R^{(N\cdot 784)\times 6}\
\Rightarrow y^{(1)}=relu(z^{(1)})
\in R^{(N\cdot 784)\times 6}\
$$
重置$y^{(1)}$大小，输出数据体$output^{(1)}\in R^{N\times 6\times 28\times 28}$
池化层$S2$
执行$\max$运算，每个滤波器空间尺寸$2\times 2$，步长为$2$
输出空间尺寸为$(28-2)/2+1=14$
所以单次$\max$操作的向量大小为$2\cdot 2=4$，单个滤波器有$6\cdot 14\cdot 14=1176$个局部连接, $N$张图片有$N\cdot 1176$个局部连接
$$
a^{(1)}\in R^{(N\cdot 1176)\times 4}\
z^{(2)}=\max (a^{(1)})\in R^{(N\cdot 1176)}
$$
$argz^{(2)} = argmax(a^{(1)})\in R^{(N\cdot 1176)}$，每个值表示单次局部连接最大值下标
重置$z^{(2)}$大小，输出数据体$output^{(2)}\in R^{N\times 6\times 14\times 14}$
卷积层$C3$
共16个滤波器，每个滤波器空间尺寸为$5\times 5$，步长为$1$, 零填充为$0$
输出空间尺寸为$(14-5+2\cdot 0)/1+1=10$
所以单次卷积操作的向量大小为$5\cdot 5\cdot 6=150$，单个滤波器有$10\cdot 10=100$个局部连接, $N$张图片有$N\cdot 100$个局部连接
$$
a^{(2)}\in R^{(N\cdot 100)\times 150}\
W^{(3)}\in R^{150\times 16}\
b^{(3)}\in R^{1\times 16}\
\Rightarrow z^{(3)}=a^{(2)}\cdot W^{(3)}+b^{(3)}
\in R^{(N\cdot 100)\times 16}\
\Rightarrow y^{(3)}=relu(z^{(3)})
\in R^{(N\cdot 100)\times 16}\
$$
重置$y^{(3)}$大小，输出数据体$output^{(3)}\in R^{N\times 16\times 10\times 10}$
池化层$S4$
执行$\max$运算，每个滤波器空间尺寸$2\times 2$，步长为$2$
输出空间尺寸为$(10-2)/2+1=5$
所以单次$\max$操作的向量大小为$2\cdot 2=4$，单个滤波器有$16\cdot 5\cdot 5=400$个局部连接, $N$张图片有$N\cdot 400$个局部连接
$$
a^{(3)}\in R^{(N\cdot 400)\times 4}\
z^{(4)}=\max (a^{(3)})\in R^{(N\cdot 400)}
$$
$argz^{(4)} = argmax(a^{(3)})\in R^{(N\cdot 400)}$，每个值表示单次局部连接最大值下标
重置$z^{(4)}$大小，输出数据体$output^{(4)}\in R^{N\times 16\times 5\times 5}$
卷积层$C5$
共120个滤波器，每个滤波器空间尺寸为$5\times 5$，步长为$1$, 零填充为$0$
输出空间尺寸为$(5-5+2\cdot 0)/1+1=1$
所以单次卷积操作的向量大小为$5\cdot 5\cdot 16=400$，单个滤波器有$1\cdot 1=1$个局部连接, $N$张图片有$N\cdot 1$个局部连接
$$
a^{(4)}\in R^{N\times 400}\
W^{(5)}\in R^{400\times 120}\
b^{(5)}\in R^{1\times 120}\
\Rightarrow z^{(5)}=a^{(4)}\cdot W^{(5)}+b^{(5)}\in R^{N\times 120}\
\Rightarrow y^{(5)}=relu(z^{(5)})\in R^{N\times 120}\
$$
输出数据体$output^{(5)}\in R^{N\times 120}$
全连接层$F6$
神经元个数为$84$
$$
a^{(5)}=y^{(5)}\in R^{N\times 120}\
W^{(6)}\in R^{120\times 84}\
b^{(6)}\in R^{1\times 84}\
\Rightarrow z^{(6)}=a^{(5)}\cdot W^{(6)}+b^{(6)}\in R^{N\times 84}\
\Rightarrow y^{(6)}=relu(z^{(6)})\in R^{N\times 84}\
$$
输出数据体$output^{(6)}\in R^{N\times 84}$
输出层$F7$
神经元个数为$10$
$$
a^{(6)}=y^{(6)}\in R^{N\times 84}\
W^{(7)}\in R^{84\times 10}\
b^{(7)}\in R^{1\times 10}\
\Rightarrow z^{(7)}=a^{(6)}\cdot W^{(7)}+b^{(7)}\in R^{N\times 10}\
$$
输出数据体$output^{(7)}\in R^{N\times 10}$
分类概率
$$
probs=h(z^{(7)})=\frac {exp(z^{(7)})}{exp(z^{(7)})\cdot A\cdot B^{T}}
$$
$A\in R^{10\times 1}, B\in R^{10\times 1}$都是全$1$向量
损失值
$$
dataLoss = -\frac {1}{N} 1^{T}\cdot \ln \frac {exp(z^{(7)}* Y\cdot A)}{exp(z^{(7)})\cdot A}
$$
$$
regLoss = 0.5\cdot reg\cdot (||W^{(1)}||^{2} + ||W^{(3)}||^{2} + ||W^{(5)}||^{2} + ||W^{(6)}||^{2} + ||W^{(7)}||^{2})
$$
$$
J(z^{(7)})=dataLoss + regLoss
$$
$Y\in R^{N\times 10}$，仅有正确类别为1, 其余为0
反向传播
输出层$F7$
求输入向量$z^{(7)}$梯度
$$
d(dataloss)=d(-\frac {1}{N} 1^{T}\cdot \ln \frac {exp(z^{(7)}* Y\cdot A)}{exp(z^{(7)})\cdot A})
=tr(-\frac {1}{N} (probs^{T} - Y^{T})\cdot dz^{(7)})
$$
$$
\Rightarrow D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})=\frac {1}{N} (probs^{T} - Y^{T})\in R^{10\times N}\
\Rightarrow \bigtriangledown_{z^{(7)}}f(z^{(7)})=\frac {1}{N} (probs - Y)\in R^{N\times 10}
$$
其他梯度
$$
z^{(7)}=a^{(6)}\cdot W^{(7)}+b^{(7)} \
dz^{(7)}=da^{(6)}\cdot W^{(7)} + a^{(6)}\cdot dW^{(7)} + db^{(7)}
$$
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot dz^{(7)})
=tr(D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot (da^{(6)}\cdot W^{(7)} + a^{(6)}\cdot dW^{(7)} + db^{(7)}))\
=tr(D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot da^{(6)}\cdot W^{(7)})
+tr(D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot a^{(6)}\cdot dW^{(7)})
+tr(D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot db^{(7)}))
$$
求权重矩阵$W^{(7)}$梯度
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot a^{(6)}\cdot dW^{(7)})
$$
$$
\Rightarrow D_{W^{(7)}}f(W^{(7)})=D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot a^{(6)}\
\Rightarrow \bigtriangledown_{W^{(7)}}f(W^{(7)})
=(a^{(6)})^{T}\cdot \bigtriangledown_{z^{(7)}}f(z^{(7)})
=R^{84\times 10}\cdot R^{N\times 10}
=R^{84\times 10}
$$
求偏置向量$b^{(7)}$梯度
$$
d(dataloss)=tr(\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot db^{(7)}))
$$
$$
\Rightarrow D_{b^{(7)}}f(b^{(7)})=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\
\Rightarrow \bigtriangledown_{b^{(7)}}f(b^{(7)})=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} \bigtriangledown_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\in R^{1\times 10}
$$
$M=N$，表示$dz^{(7)}$的行数
求上一层输出向量$a^{(6)}$梯度
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot da^{(6)}\cdot W^{(7)})
=tr(W^{(7)}\cdot D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot da^{(6)})
$$
$$
\Rightarrow D_{a^{(6)}}f(a^{(6)})=W^{(7)}\cdot D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\
\Rightarrow \bigtriangledown_{a^{(6)}}f(a^{(6)})=\bigtriangledown_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot (W^{(7)})^{T}=R^{N\times 10}\cdot R^{10\times 84}=R^{N\times 84}
$$
全连接层$F6$
求输入向量$z^{(6)}$梯度
$$
a^{(6)}=y^{(6)}=relu(z^{(6)})\
da^{(6)}=1(z^{(6)}\geq 0)* dz^{(6)}
$$
$$
d(dataloss)=tr(D_{a^{(6)}}f(a^{(6)}) da^{(6)})=tr(D_{a^{(6)}}f(a^{(6)})\cdot (1(z^{(6)}\geq 0)* dz^{(6)}))\
=tr(D_{a^{(6)}}f(a^{(6)})* 1(z^{(6)}\geq 0)^{T}\cdot dz^{(6)})
$$
$$
\Rightarrow D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})=D_{a^{(6)}}f(a^{(6)})* 1(z^{(6)}\geq 0)^{T}\
\Rightarrow \bigtriangledown_{z^{(6)}}f(z^{(6)})=\bigtriangledown_{a^{(6)}}f(a^{(6)})* 1(z^{(6)}\geq 0)\in R^{N\times 84}
$$
其他梯度
$$
z^{(6)}=a^{(5)}\cdot W^{(6)}+b^{(6)} \
dz^{(6)}=da^{(5)}\cdot W^{(6)}+a^{(5)}\cdot dW^{(6)}+db^{(6)}
$$
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot dz^{(6)})\
=tr(D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot (da^{(5)}\cdot W^{(6)} + a^{(5)}\cdot dW^{(6)} + db^{(6)}))\
=tr(D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot da^{(5)}\cdot W^{(6)})
+tr(D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot a^{(5)}\cdot dW^{(6)})
+tr(D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot db^{(6)}))
$$
求权重矩阵$w^{(6)}$梯度
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot a^{(5)}\cdot dW^{(6)})
$$
$$
\Rightarrow D_{W^{(6)}}f(W^{(6)})=D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot a^{(5)}\
\Rightarrow \bigtriangledown_{W^{(6)}}f(W^{(6)})
=(a^{(5)})^{T}\cdot \bigtriangledown_{z^{(6)}}f(z^{(6)})
=R^{120\times N}\cdot R^{N\times 84}
=R^{120\times 84}
$$
求偏置向量$b^{(6)}$梯度
$$
d(dataloss)=tr(\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot db^{(6)}))
$$
$$
\Rightarrow D_{b^{(6)}}f(b^{(6)})
=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\
\Rightarrow \bigtriangledown_{b^{(6)}}f(b^{(6)})
=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} \bigtriangledown_{z^{(6)}}f(z^{(6)})
\in R^{1\times 84}
$$
$M=N$，表示$dz^{(6)}$的行数
求上一层输出向量$a^{(5)}$梯度
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot da^{(5)}\cdot W^{(6)})
=tr(W^{(6)}\cdot D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot da^{(5)})
$$
$$
\Rightarrow D_{a^{(5)}}f(a^{(5)})
=W^{(6)}\cdot D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\
\Rightarrow \bigtriangledown_{a^{(5)}}f(a^{(5)})
=\bigtriangledown_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot (W^{(6)})^{T}
=R^{N\times 84}\cdot R^{84\times 120}
=R^{N\times 120}
$$
卷积层$C5$
求输入向量$z^{(5)}$梯度
$$
a^{(5)}=y^{(5)}=relu(z^{(5)})\
da^{(5)}=1(z^{(5)}\geq 0)* dz^{(5)}\
$$
$$
d(dataloss)=tr(D_{a^{(5)}}f(a^{(5)}) da^{(5)})=tr(D_{a^{(5)}}f(a^{(5)})\cdot (1(z^{(5)}\geq 0)* dz^{(5)}))\
=tr(D_{a^{(5)}}f(a^{(5)})* 1(z^{(5)}\geq 0)^{T}\cdot dz^{(5)})
$$
$$
\Rightarrow D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})
=D_{a^{(5)}}f(a^{(5)})* 1(z^{(5)}\geq 0)^{T}\
\Rightarrow \bigtriangledown_{z^{(5)}}f(z^{(5)})
=\bigtriangledown_{a^{(5)}}f(a^{(5)})* 1(z^{(5)}\geq 0)
\in R^{N\times 120}
$$
其他梯度
$$
z^{(5)}=a^{(4)}\cdot W^{(5)}+b^{(5)} \
dz^{(5)}=da^{(4)}\cdot W^{(5)}+a^{(4)}\cdot dW^{(5)}+db^{(5)}
$$
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot dz^{(5)})
=tr(D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot (da^{(4)}\cdot W^{(5)} + a^{(4)}\cdot dW^{(5)} + db^{(5)}))\
=tr(D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot da^{(4)}\cdot W^{(5)})
+tr(D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot a^{(4)}\cdot dW^{(5)})
+tr(D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot db^{(5)}))
$$
求权重矩阵$W^{(5)}$梯度
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot a^{(4)}\cdot dW^{(5)})
$$
$$
\Rightarrow D_{W^{(5)}}f(W^{(5)})
=D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot a^{(4)}\
\Rightarrow \bigtriangledown_{W^{(5)}}f(W^{(5)})
=(a^{(4)})^{T}\cdot \bigtriangledown_{z^{(5)}}f(z^{(5)})
=R^{400\times N}\cdot R^{N\times 120}
=R^{400\times 120}
$$
求偏置向量$b^{(5)}$梯度
$$
d(dataloss)=tr(\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot db^{(5)})
$$
$$
\Rightarrow D_{b^{(5)}}f(b^{(5)})=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\
\Rightarrow \bigtriangledown_{b^{(5)}}f(b^{(5)})
=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} \bigtriangledown_{z^{(5)}}f(z^{(5)})
\in R^{1\times 120}
$$
$M=N$, 表示$dz^{(5)}$的行数
求上一层输出向量$a^{(4)}$梯度
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot da^{(4)}\cdot W^{(5)})
=tr(W^{(5)}\cdot D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot da^{(4)})
$$
$$
\Rightarrow D_{a^{(4)}}f(a^{(4)})
=W^{(5)}\cdot D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\
\Rightarrow \bigtriangledown_{a^{(4)}}f(a^{(4)})
=\bigtriangledown_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot (W^{(5)})^{T}
=R^{N\times 120}\cdot R^{120\times 400}
=R^{N\times 400}
$$
池化层$S4$
计算$z^{(4)}$梯度
因为$a^{(4)}\in R^{N\times 400}$，$output^{(4)}\in R^{N\times 16\times 5\times 5}$，$z^{(4)}\in R^{(N\cdot 400)}$，卷积层$C5$滤波器空间尺寸为$5\times 5$，和激活图大小一致，所以$z^{(4)}$梯度是$a^{(4)}$梯度矩阵的向量化
$$
dz^{(4)} = dvec(a^{(4)})
$$
$$
\Rightarrow D_{z^{(4)}}f(z^{(4)})=vec(D_{a^{(4)}}f(a^{(4)}))\
\Rightarrow \bigtriangledown_{z^{(4)}}f(z^{(4)})=vec(\bigtriangledown_{a^{(4)}}f(a^{(4)}))
$$
上一层输出向量$a^{(3)}$梯度
$$
z^{(4)}=\max (a^{(3)})\
dz^{(4)}=1(a^{(3)}\ is\ the\ max)* da^{(3)}
$$
配合$argz^{(4)}$，最大值梯度和$z^{(4)}$一致，其余梯度为$0$
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(4)}}f(z^{(4)}) dz^{(4)})\
=tr(D_{z^{(4)}}f(z^{(4)})\cdot 1(a^{(3)}\ is\ the\ max)* da^{(3)})
=tr(D_{z^{(4)}}f(z^{(4)})* 1(a^{(3)}\ is\ the\ max)^{T}\cdot da^{(3)}
$$
$$
\Rightarrow D_{a^{(3)}}f(a^{(3)})=D_{z^{(4)}}f(z^{(4)})* 1(a^{(3)}\ is\ the\ max)^{T}\
\Rightarrow \bigtriangledown_{a^{(3)}}f(a^{(3)})
=\bigtriangledown_{z^{(4)}}f(z^{(4)})* 1(a^{(3)}\ is\ the\ max)
\in R^{(N\cdot 400)\times 4}
$$
卷积层$C3$
计算$y^{(3)}$梯度
因为$a^{(3)}\in R^{(N\cdot 400)\times 4}$，$output^{(3)}\in R^{N\times 16\times 10\times 10}$，$y^{(3)}\in R^{(N\cdot 100)\times 16}$，池化层$S4$滤波器空间尺寸为$5\times 5$，步长为$1$，按照采样顺序将$a^{(3)}$梯度重置回$output^{(3)}$梯度，再重置为$y^{(3)}$梯度
求输入向量$z^{(3)}$梯度
$$
y^{(3)} = relu(z^{(3)})\
dy^{(3)} = 1(z^{(3)} \geq 0)*dz^{(3)}
$$
$$
d(dataloss)
=tr(D_{y^{(3)}}f(y^{(3)})\cdot dy^{(3)})\
=tr(D_{y^{(3)}}f(y^{(3)})\cdot (1(z^{(3)} \geq 0)dz^{(3)}))\
=tr(D_{y^{(3)}}f(y^{(3)}) 1(z^{(3)} \geq 0)^{T}\cdot dz^{(3)})
$$
$$
\Rightarrow D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})
=D_{y^{(3)}}f(y^{(3)})* 1(z^{(3)} \geq 0)^{T}\
\Rightarrow \bigtriangledown_{z^{(3)}}f(z^{(3)})
=\bigtriangledown_{y^{(3)}}f(y^{(3)})* 1(z^{(3)} \geq 0)
\in R^{(N\cdot 100)\times 16}
$$
其他梯度
$$
z^{(3)}=a^{(2)}\cdot W^{(3)}+b^{(3)} \
dz^{(3)}=da^{(2)}\cdot W^{(3)}+a^{(2)}\cdot dW^{(3)}+db^{(3)}
$$
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot dz^{(3)})\
=tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot (da^{(2)}\cdot W^{(3)} + a^{(2)}\cdot dW^{(3)} + db^{(3)}))\
=tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot da^{(2)}\cdot W^{(3)})
+tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot a^{(2)}\cdot dW^{(3)})
+tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot db^{(3)}))
$$
求权重矩阵$W^{(3)}$梯度
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot a^{(2)}\cdot dW^{(3)})
$$
$$
\Rightarrow D_{W^{(3)}}f(W^{(3)})
=D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot a^{(2)}\
\Rightarrow \bigtriangledown_{W^{(3)}}f(W^{(3)})
=(a^{(2)})^{T}\cdot \bigtriangledown_{z^{(3)}}f(z^{(3)})
=R^{150\times (N\cdot 100)}\cdot R^{(N\cdot 100)\times 16}
=R^{150\times 16}
$$
求偏置向量$b^{(3)}$梯度
$$
d(dataloss)=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot db^{(3)})
$$
$$
\Rightarrow D_{b^{(3)}}f(b^{(3)})
=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\
\Rightarrow \bigtriangledown_{b^{(3)}}f(b^{(3)})
=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} \bigtriangledown_{z^{(3)}}f(z^{(3)})
=R^{1\times 16}
$$
$M=N\cdot 100$，表示$dz^{(3)}$的行数
求上一层输出向量$a^{(2)}$梯度
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot da^{(2)}\cdot W^{(3)})
=tr(W^{(3)}\cdot D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot da^{(2)})
$$
$$
\Rightarrow D_{a^{(2)}}f(a^{(2)})
=W^{(3)}\cdot D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\
\Rightarrow \bigtriangledown_{a^{(2)}}f(a^{(2)})
=\bigtriangledown_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot (W^{(3)})^{T}
=R^{(N\cdot 100)\times 16}\cdot R^{16\times 150}
=R^{(N\cdot 100)\times 150}
$$
池化层$S2$
计算$z^{(2)}$梯度
因为$a^{(2)}\in R^{(N\cdot 100)\times 150}$，$output^{(2)}\in R^{N\times 6\times 14\times 14}$，$z^{(2)}\in R^{(N\cdot 1176)}$，卷积层$C3$滤波器空间尺寸为$5\times 5$，步长为$1$，所以按照采样顺序将$a^{(2)}$梯度重置回$output^{(2)}$梯度，再重置为$z^{(2)}$梯度
上一层输出向量$a^{(1)}$梯度
$$
z^{(2)}=\max (a^{(1)})\
dz^{(2)}=1(a^{(1)}\ is\ the\ max)* da^{(1)}
$$
配合$argz^{(2)}$，最大值梯度和$z^{(2)}$一致，其余梯度为$0$
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(2)}}f(z^{(2)}) dz^{(2)})\
=tr(D_{z^{(2)}}f(z^{(2)})\cdot 1(a^{(1)}\ is\ the\ max)* da^{(1)})
=tr(D_{z^{(2)}}f(z^{(2)})* 1(a^{(1)}\ is\ the\ max)^{T}\cdot da^{(1)}
$$
$$
\Rightarrow D_{a^{(1)}}f(a^{(1)})=D_{z^{(2)}}f(z^{(2)})* 1(a^{(1)}\ is\ the\ max)^{T}\
\Rightarrow \bigtriangledown_{a^{(1)}}f(a^{(1)})
=\bigtriangledown_{z^{(2)}}f(z^{(2)})* 1(a^{(1)}\ is\ the\ max)
\in R^{(N\cdot 1176)\times 4}
$$
卷积层$C1$
计算$y^{(1)}$梯度
因为$a^{(1)}\in R^{(N\cdot 1176)\times 4}$，$output^{(1)}\in R^{N\times 6\times 28\times 28}$，$y^{(1)}\in R^{(N\cdot 784)\times 6}$，池化层$S2$滤波器空间尺寸为$2\times 2$，步长为$2$，按照采样顺序将$a^{(1)}$梯度重置回$output^{(1)}$梯度，再重置为$y^{(1)}$梯度
求输入向量$z^{(1)}$梯度
$$
y^{(1)} = relu(z^{(1)})\
dy^{(1)} = 1(z^{(1)} \geq 0)*dz^{(1)}
$$
$$
d(dataloss)
=tr(D_{y^{(1)}}f(y^{(1)})\cdot dy^{(1)})\
=tr(D_{y^{(1)}}f(y^{(1)})\cdot (1(z^{(1)} \geq 0)dz^{(1)}))\
=tr(D_{y^{(1)}}f(y^{(1)}) 1(z^{(1)} \geq 0)^{T}\cdot dz^{(1)})
$$
$$
\Rightarrow D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})=D_{y^{(1)}}f(y^{(1)})* 1(z^{(1)} \geq 0)^{T}\
\Rightarrow \bigtriangledown_{z^{(1)}}f(z^{(1)})
=\bigtriangledown_{y^{(1)}}f(y^{(1)})* 1(z^{(1)} \geq 0)
\in R^{N\times 784\times 6}
$$
其他梯度
$$
z^{(1)}=a^{(0)}\cdot W^{(1)}+b^{(1)} \
dz^{(1)}=da^{(0)}\cdot W^{(1)}+a^{(0)}\cdot dW^{(1)}+db^{(1)}
$$
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot dz^{(1)})
=tr(D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot (da^{(0)}\cdot W^{(1)} + a^{(0)}\cdot dW^{(1)} + db^{(1)}))\
=tr(D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot da^{(0)}\cdot W^{(1)})
+tr(D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot a^{(0)}\cdot dW^{(1)})
+tr(D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot db^{(1)}))
$$
求权重矩阵$W^{(1)}$梯度
$$
d(dataloss)=tr(D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot a^{(0)}\cdot dW^{(1)})
$$
$$
\Rightarrow D_{W^{(1)}}f(W^{(1)})
=D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot a^{(0)}\
\Rightarrow \bigtriangledown_{W^{(1)}}f(W^{(1)})
=(a^{(0)})^{T}\cdot \bigtriangledown_{z^{(1)}}f(z^{(1)})
=R^{25\times (N\cdot 784)}\cdot R^{(N\times 784)\times 6}
=R^{25\times 6}
$$
求偏置向量$b^{(1)}$梯度
$$
d(dataloss)=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} tr(D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot db^{(1)})
$$
$$
\Rightarrow D_{b^{(1)}}f(b^{(1)})=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\
\Rightarrow \bigtriangledown_{b^{(1)}}f(b^{(1)})=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} \bigtriangledown_{z^{(1)}}f(z^{(1)})
\in R^{1\times 6}
$$
$M=N\cdot 784$, 表示$dz^{(1)}$的行数
小结
矩阵计算的优缺点
- 优点：逻辑简单，易于理解
- 缺点：占用额外内存（因为计算过程中每层数据体的值都应用在矩阵多个位置）