之前推导LeNet-5
网络输入单个图像数据的前后向传播,现在实现批量图像数据的前后向传播
计算符号
- $N$表示批量数据
- $C$表示深度
- $H$表示高度
- $W$表示宽度
- $output^{x}$表示第$x$层输出数据体
通道转换
使用OpenCV
或PIL
读取一张图片,保存为numpy ndarray
结构,图像尺寸前3
位分别表示长度、宽度和深度:$[H, W, C]$
批量处理图像数据相当于在深度上进行累加,为方便计算,先转换成深度、长度和宽度:$[C, H, W]$
网络输出
对输入层
对卷积层$C1$
对池化层$S2$
对卷积层$C3$
对池化层$S4$
对卷积层$C5$
对全连接层$F6$
对输出层$F7$
前向计算
输入层
卷积层$C1$
共6个滤波器,每个滤波器空间尺寸为$5\times 5$,步长为$1$, 零填充为$0$
输出空间尺寸为$(32-5-2\cdot 0)/1+1=28$
所以单次卷积操作的向量大小为$1\cdot 5\cdot 5=25$,单个滤波器有$28\cdot 28=784$个局部连接,$N$张图片有$N\cdot 784$个局部连接
重置$y^{(1)}$大小,输出数据体$output^{(1)}\in R^{N\times 6\times 28\times 28}$
池化层$S2$
执行$\max$运算,每个滤波器空间尺寸$2\times 2$,步长为$2$
输出空间尺寸为$(28-2)/2+1=14$
所以单次$\max$操作的向量大小为$2\cdot 2=4$,单个滤波器有$6\cdot 14\cdot 14=1176$个局部连接, $N$张图片有$N\cdot 1176$个局部连接
$argz^{(2)} = argmax(a^{(1)})\in R^{(N\cdot 1176)}$,每个值表示单次局部连接最大值下标
重置$z^{(2)}$大小,输出数据体$output^{(2)}\in R^{N\times 6\times 14\times 14}$
卷积层$C3$
共16个滤波器,每个滤波器空间尺寸为$5\times 5$,步长为$1$, 零填充为$0$
输出空间尺寸为$(14-5+2\cdot 0)/1+1=10$
所以单次卷积操作的向量大小为$5\cdot 5\cdot 6=150$,单个滤波器有$10\cdot 10=100$个局部连接, $N$张图片有$N\cdot 100$个局部连接
重置$y^{(3)}$大小,输出数据体$output^{(3)}\in R^{N\times 16\times 10\times 10}$
池化层$S4$
执行$\max$运算,每个滤波器空间尺寸$2\times 2$,步长为$2$
输出空间尺寸为$(10-2)/2+1=5$
所以单次$\max$操作的向量大小为$2\cdot 2=4$,单个滤波器有$16\cdot 5\cdot 5=400$个局部连接, $N$张图片有$N\cdot 400$个局部连接
$argz^{(4)} = argmax(a^{(3)})\in R^{(N\cdot 400)}$,每个值表示单次局部连接最大值下标
重置$z^{(4)}$大小,输出数据体$output^{(4)}\in R^{N\times 16\times 5\times 5}$
卷积层$C5$
共120个滤波器,每个滤波器空间尺寸为$5\times 5$,步长为$1$, 零填充为$0$
输出空间尺寸为$(5-5+2\cdot 0)/1+1=1$
所以单次卷积操作的向量大小为$5\cdot 5\cdot 16=400$,单个滤波器有$1\cdot 1=1$个局部连接, $N$张图片有$N\cdot 1$个局部连接
输出数据体$output^{(5)}\in R^{N\times 120}$
全连接层$F6$
神经元个数为$84$
输出数据体$output^{(6)}\in R^{N\times 84}$
输出层$F7$
神经元个数为$10$
输出数据体$output^{(7)}\in R^{N\times 10}$
分类概率
$A\in R^{10\times 1}, B\in R^{10\times 1}$都是全$1$向量
损失值
$Y\in R^{N\times 10}$,仅有正确类别为1
, 其余为0
反向传播
输出层$F7$
求输入向量$z^{(7)}$梯度
其他梯度
求权重矩阵$W^{(7)}$梯度
求偏置向量$b^{(7)}$梯度
$M=N$,表示$dz^{(7)}$的行数
求上一层输出向量$a^{(6)}$梯度
全连接层$F6$
求输入向量$z^{(6)}$梯度
其他梯度
求权重矩阵$w^{(6)}$梯度
求偏置向量$b^{(6)}$梯度
$M=N$,表示$dz^{(6)}$的行数
求上一层输出向量$a^{(5)}$梯度
卷积层$C5$
求输入向量$z^{(5)}$梯度
其他梯度
求权重矩阵$W^{(5)}$梯度
求偏置向量$b^{(5)}$梯度
$M=N$, 表示$dz^{(5)}$的行数
求上一层输出向量$a^{(4)}$梯度
池化层$S4$
计算$z^{(4)}$梯度
因为$a^{(4)}\in R^{N\times 400}$,$output^{(4)}\in R^{N\times 16\times 5\times 5}$,$z^{(4)}\in R^{(N\cdot 400)}$,卷积层$C5$滤波器空间尺寸为$5\times 5$,和激活图大小一致,所以$z^{(4)}$梯度是$a^{(4)}$梯度矩阵的向量化
上一层输出向量$a^{(3)}$梯度
配合$argz^{(4)}$,最大值梯度和$z^{(4)}$一致,其余梯度为$0$
卷积层$C3$
计算$y^{(3)}$梯度
因为$a^{(3)}\in R^{(N\cdot 400)\times 4}$,$output^{(3)}\in R^{N\times 16\times 10\times 10}$,$y^{(3)}\in R^{(N\cdot 100)\times 16}$,池化层$S4$滤波器空间尺寸为$5\times 5$,步长为$1$,按照采样顺序将$a^{(3)}$梯度重置回$output^{(3)}$梯度,再重置为$y^{(3)}$梯度
求输入向量$z^{(3)}$梯度
其他梯度
求权重矩阵$W^{(3)}$梯度
求偏置向量$b^{(3)}$梯度
$M=N\cdot 100$,表示$dz^{(3)}$的行数
求上一层输出向量$a^{(2)}$梯度
池化层$S2$
计算$z^{(2)}$梯度
因为$a^{(2)}\in R^{(N\cdot 100)\times 150}$,$output^{(2)}\in R^{N\times 6\times 14\times 14}$,$z^{(2)}\in R^{(N\cdot 1176)}$,卷积层$C3$滤波器空间尺寸为$5\times 5$,步长为$1$,所以按照采样顺序将$a^{(2)}$梯度重置回$output^{(2)}$梯度,再重置为$z^{(2)}$梯度
上一层输出向量$a^{(1)}$梯度
配合$argz^{(2)}$,最大值梯度和$z^{(2)}$一致,其余梯度为$0$
卷积层$C1$
计算$y^{(1)}$梯度
因为$a^{(1)}\in R^{(N\cdot 1176)\times 4}$,$output^{(1)}\in R^{N\times 6\times 28\times 28}$,$y^{(1)}\in R^{(N\cdot 784)\times 6}$,池化层$S2$滤波器空间尺寸为$2\times 2$,步长为$2$,按照采样顺序将$a^{(1)}$梯度重置回$output^{(1)}$梯度,再重置为$y^{(1)}$梯度
求输入向量$z^{(1)}$梯度
其他梯度
求权重矩阵$W^{(1)}$梯度
求偏置向量$b^{(1)}$梯度
$M=N\cdot 784$, 表示$dz^{(1)}$的行数
小结
矩阵计算的优缺点
- 优点:逻辑简单,易于理解
- 缺点:占用额外内存(因为计算过程中每层数据体的值都应用在矩阵多个位置)