卷积神经网络推导-批量图片矩阵计算

参考：卷积神经网络推导-单张图片矩阵计算

之前推导LeNet-5网络输入单个图像数据的前后向传播，现在实现批量图像数据的前后向传播

计算符号

• $N$表示批量数据
• $C$表示深度
• $H$表示高度
• $W$表示宽度
• $output^{x}$表示第$x$层输出数据体

通道转换

使用OpenCV或PIL读取一张图片，保存为numpy ndarray结构，图像尺寸前3位分别表示长度、宽度和深度：$[H, W, C]$

批量处理图像数据相当于在深度上进行累加，为方便计算，先转换成深度、长度和宽度：$[C, H, W]$

网络输出

对输入层

$$X\in R^{N\times C_{0}\times H_{0}\times W_{0}} = R^{N\times 1\times 32\times 32}$$

对卷积层$C1$

$$output^{(1)}\in R^{N\times C_{1}\times H_{1}\times W_{1}} = R^{N\times 6\times 28\times 28}$$

对池化层$S2$

$$output^{(2)}\in R^{N\times C_{2}\times H_{2}\times W_{2}} = R^{N\times 6\times 14\times 14}$$

对卷积层$C3$

$$output^{(3)}\in R^{N\times C_{3}\times H_{3}\times W_{3}} = R^{N\times 16\times 10\times 10}$$

对池化层$S4$

$$output^{(4)}\in R^{N\times C_{4}\times H_{4}\times W_{4}} = R^{N\times 16\times 5\times 5}$$

对卷积层$C5$

$$output^{(5)}\in R^{N\times C_{5}\times H_{5}\times W_{5}} = R^{N\times 120}$$

对全连接层$F6$

$$output^{(6)}\in R^{N\times C_{6}\times H_{6}\times W_{6}} = R^{N\times 84}$$

对输出层$F7$

$$output^{(7)}\in R^{N\times C_{7}\times H_{7}\times W_{7}} = R^{N\times 10}$$

前向计算

输入层

$$X\in R^{N\times 1\times 32\times 32}$$

卷积层$C1$

共6个滤波器，每个滤波器空间尺寸为$5\times 5$，步长为$1$, 零填充为$0$

输出空间尺寸为$(32-5-2\cdot 0)/1+1=28$

所以单次卷积操作的向量大小为$1\cdot 5\cdot 5=25$，单个滤波器有$28\cdot 28=784$个局部连接，$N$张图片有$N\cdot 784$个局部连接

$$a^{(0)}\in R^{(N\cdot 784)\times 25}\\ W^{(1)}\in R^{25\times 6}\\ b^{(1)}\in R^{1\times 6}\\ \Rightarrow z^{(1)}=a^{(0)}\cdot W^{(1)}+b^{(1)} \in R^{(N\cdot 784)\times 6}\\ \Rightarrow y^{(1)}=relu(z^{(1)}) \in R^{(N\cdot 784)\times 6}\\$$

重置$y^{(1)}$大小，输出数据体$output^{(1)}\in R^{N\times 6\times 28\times 28}$

池化层$S2$

执行$\max$运算，每个滤波器空间尺寸$2\times 2$，步长为$2$

输出空间尺寸为$(28-2)/2+1=14$

所以单次$\max$操作的向量大小为$2\cdot 2=4$，单个滤波器有$6\cdot 14\cdot 14=1176$个局部连接, $N$张图片有$N\cdot 1176$个局部连接

$$a^{(1)}\in R^{(N\cdot 1176)\times 4}\\ z^{(2)}=\max (a^{(1)})\in R^{(N\cdot 1176)}$$

$argz^{(2)} = argmax(a^{(1)})\in R^{(N\cdot 1176)}$，每个值表示单次局部连接最大值下标

重置$z^{(2)}$大小，输出数据体$output^{(2)}\in R^{N\times 6\times 14\times 14}$

卷积层$C3$

共16个滤波器，每个滤波器空间尺寸为$5\times 5$，步长为$1$, 零填充为$0$

输出空间尺寸为$(14-5+2\cdot 0)/1+1=10$

所以单次卷积操作的向量大小为$5\cdot 5\cdot 6=150$，单个滤波器有$10\cdot 10=100$个局部连接, $N$张图片有$N\cdot 100$个局部连接

$$a^{(2)}\in R^{(N\cdot 100)\times 150}\\ W^{(3)}\in R^{150\times 16}\\ b^{(3)}\in R^{1\times 16}\\ \Rightarrow z^{(3)}=a^{(2)}\cdot W^{(3)}+b^{(3)} \in R^{(N\cdot 100)\times 16}\\ \Rightarrow y^{(3)}=relu(z^{(3)}) \in R^{(N\cdot 100)\times 16}\\$$

重置$y^{(3)}$大小，输出数据体$output^{(3)}\in R^{N\times 16\times 10\times 10}$

池化层$S4$

执行$\max$运算，每个滤波器空间尺寸$2\times 2$，步长为$2$

输出空间尺寸为$(10-2)/2+1=5$

所以单次$\max$操作的向量大小为$2\cdot 2=4$，单个滤波器有$16\cdot 5\cdot 5=400$个局部连接, $N$张图片有$N\cdot 400$个局部连接

$$a^{(3)}\in R^{(N\cdot 400)\times 4}\\ z^{(4)}=\max (a^{(3)})\in R^{(N\cdot 400)}$$

$argz^{(4)} = argmax(a^{(3)})\in R^{(N\cdot 400)}$，每个值表示单次局部连接最大值下标

重置$z^{(4)}$大小，输出数据体$output^{(4)}\in R^{N\times 16\times 5\times 5}$

卷积层$C5$

共120个滤波器，每个滤波器空间尺寸为$5\times 5$，步长为$1$, 零填充为$0$

输出空间尺寸为$(5-5+2\cdot 0)/1+1=1$

所以单次卷积操作的向量大小为$5\cdot 5\cdot 16=400$，单个滤波器有$1\cdot 1=1$个局部连接, $N$张图片有$N\cdot 1$个局部连接

$$a^{(4)}\in R^{N\times 400}\\ W^{(5)}\in R^{400\times 120}\\ b^{(5)}\in R^{1\times 120}\\ \Rightarrow z^{(5)}=a^{(4)}\cdot W^{(5)}+b^{(5)}\in R^{N\times 120}\\ \Rightarrow y^{(5)}=relu(z^{(5)})\in R^{N\times 120}\\$$

输出数据体$output^{(5)}\in R^{N\times 120}$

全连接层$F6$

神经元个数为$84$

$$a^{(5)}=y^{(5)}\in R^{N\times 120}\\ W^{(6)}\in R^{120\times 84}\\ b^{(6)}\in R^{1\times 84}\\ \Rightarrow z^{(6)}=a^{(5)}\cdot W^{(6)}+b^{(6)}\in R^{N\times 84}\\ \Rightarrow y^{(6)}=relu(z^{(6)})\in R^{N\times 84}\\$$

输出数据体$output^{(6)}\in R^{N\times 84}$

输出层$F7$

神经元个数为$10$

$$a^{(6)}=y^{(6)}\in R^{N\times 84}\\ W^{(7)}\in R^{84\times 10}\\ b^{(7)}\in R^{1\times 10}\\ \Rightarrow z^{(7)}=a^{(6)}\cdot W^{(7)}+b^{(7)}\in R^{N\times 10}\\$$

输出数据体$output^{(7)}\in R^{N\times 10}$

分类概率

$$probs=h(z^{(7)})=\frac {exp(z^{(7)})}{exp(z^{(7)})\cdot A\cdot B^{T}}$$

$A\in R^{10\times 1}, B\in R^{10\times 1}$都是全$1$向量

损失值

$$dataLoss = -\frac {1}{N} 1^{T}\cdot \ln \frac {exp(z^{(7)}* Y\cdot A)}{exp(z^{(7)})\cdot A}$$ $$regLoss = 0.5\cdot reg\cdot (||W^{(1)}||^{2} + ||W^{(3)}||^{2} + ||W^{(5)}||^{2} + ||W^{(6)}||^{2} + ||W^{(7)}||^{2})$$ $$J(z^{(7)})=dataLoss + regLoss$$

$Y\in R^{N\times 10}$，仅有正确类别为1, 其余为0

反向传播

输出层$F7$

求输入向量$z^{(7)}$梯度

$$d(dataloss)=d(-\frac {1}{N} 1^{T}\cdot \ln \frac {exp(z^{(7)}* Y\cdot A)}{exp(z^{(7)})\cdot A}) =tr(-\frac {1}{N} (probs^{T} - Y^{T})\cdot dz^{(7)})$$ $$\Rightarrow D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})=\frac {1}{N} (probs^{T} - Y^{T})\in R^{10\times N}\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{z^{(7)}}f(z^{(7)})=\frac {1}{N} (probs - Y)\in R^{N\times 10}$$

其他梯度

$$z^{(7)}=a^{(6)}\cdot W^{(7)}+b^{(7)} \\ dz^{(7)}=da^{(6)}\cdot W^{(7)} + a^{(6)}\cdot dW^{(7)} + db^{(7)}$$ $$d(dataloss)=tr(D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot dz^{(7)}) =tr(D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot (da^{(6)}\cdot W^{(7)} + a^{(6)}\cdot dW^{(7)} + db^{(7)}))\\ =tr(D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot da^{(6)}\cdot W^{(7)}) +tr(D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot a^{(6)}\cdot dW^{(7)}) +tr(D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot db^{(7)}))$$

求权重矩阵$W^{(7)}$梯度

$$d(dataloss)=tr(D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot a^{(6)}\cdot dW^{(7)})$$ $$\Rightarrow D_{W^{(7)}}f(W^{(7)})=D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot a^{(6)}\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{W^{(7)}}f(W^{(7)}) =(a^{(6)})^{T}\cdot \bigtriangledown_{z^{(7)}}f(z^{(7)}) =R^{84\times 10}\cdot R^{N\times 10} =R^{84\times 10}$$

求偏置向量$b^{(7)}$梯度

$$d(dataloss)=tr(\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot db^{(7)}))$$ $$\Rightarrow D_{b^{(7)}}f(b^{(7)})=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{b^{(7)}}f(b^{(7)})=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} \bigtriangledown_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\in R^{1\times 10}$$

$M=N$，表示$dz^{(7)}$的行数

求上一层输出向量$a^{(6)}$梯度

$$d(dataloss)=tr(D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot da^{(6)}\cdot W^{(7)}) =tr(W^{(7)}\cdot D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot da^{(6)})$$ $$\Rightarrow D_{a^{(6)}}f(a^{(6)})=W^{(7)}\cdot D_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{a^{(6)}}f(a^{(6)})=\bigtriangledown_{z^{(7)}}f(z^{(7)})\cdot (W^{(7)})^{T}=R^{N\times 10}\cdot R^{10\times 84}=R^{N\times 84}$$

全连接层$F6$

求输入向量$z^{(6)}$梯度

$$a^{(6)}=y^{(6)}=relu(z^{(6)})\\ da^{(6)}=1(z^{(6)}\geq 0)* dz^{(6)}$$ $$d(dataloss)=tr(D_{a^{(6)}}f(a^{(6)}) da^{(6)})=tr(D_{a^{(6)}}f(a^{(6)})\cdot (1(z^{(6)}\geq 0)* dz^{(6)}))\\ =tr(D_{a^{(6)}}f(a^{(6)})* 1(z^{(6)}\geq 0)^{T}\cdot dz^{(6)})$$ $$\Rightarrow D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})=D_{a^{(6)}}f(a^{(6)})* 1(z^{(6)}\geq 0)^{T}\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{z^{(6)}}f(z^{(6)})=\bigtriangledown_{a^{(6)}}f(a^{(6)})* 1(z^{(6)}\geq 0)\in R^{N\times 84}$$

其他梯度

$$z^{(6)}=a^{(5)}\cdot W^{(6)}+b^{(6)} \\ dz^{(6)}=da^{(5)}\cdot W^{(6)}+a^{(5)}\cdot dW^{(6)}+db^{(6)}$$ $$d(dataloss)=tr(D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot dz^{(6)})\\ =tr(D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot (da^{(5)}\cdot W^{(6)} + a^{(5)}\cdot dW^{(6)} + db^{(6)}))\\ =tr(D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot da^{(5)}\cdot W^{(6)}) +tr(D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot a^{(5)}\cdot dW^{(6)}) +tr(D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot db^{(6)}))$$

求权重矩阵$w^{(6)}$梯度

$$d(dataloss)=tr(D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot a^{(5)}\cdot dW^{(6)})$$ $$\Rightarrow D_{W^{(6)}}f(W^{(6)})=D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot a^{(5)}\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{W^{(6)}}f(W^{(6)}) =(a^{(5)})^{T}\cdot \bigtriangledown_{z^{(6)}}f(z^{(6)}) =R^{120\times N}\cdot R^{N\times 84} =R^{120\times 84}$$

求偏置向量$b^{(6)}$梯度

$$d(dataloss)=tr(\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot db^{(6)}))$$ $$\Rightarrow D_{b^{(6)}}f(b^{(6)}) =\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{b^{(6)}}f(b^{(6)}) =\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} \bigtriangledown_{z^{(6)}}f(z^{(6)}) \in R^{1\times 84}$$

$M=N$，表示$dz^{(6)}$的行数

求上一层输出向量$a^{(5)}$梯度

$$d(dataloss)=tr(D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot da^{(5)}\cdot W^{(6)}) =tr(W^{(6)}\cdot D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot da^{(5)})$$ $$\Rightarrow D_{a^{(5)}}f(a^{(5)}) =W^{(6)}\cdot D_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{a^{(5)}}f(a^{(5)}) =\bigtriangledown_{z^{(6)}}f(z^{(6)})\cdot (W^{(6)})^{T} =R^{N\times 84}\cdot R^{84\times 120} =R^{N\times 120}$$

卷积层$C5$

求输入向量$z^{(5)}$梯度

$$a^{(5)}=y^{(5)}=relu(z^{(5)})\\ da^{(5)}=1(z^{(5)}\geq 0)* dz^{(5)}\\$$ $$d(dataloss)=tr(D_{a^{(5)}}f(a^{(5)}) da^{(5)})=tr(D_{a^{(5)}}f(a^{(5)})\cdot (1(z^{(5)}\geq 0)* dz^{(5)}))\\ =tr(D_{a^{(5)}}f(a^{(5)})* 1(z^{(5)}\geq 0)^{T}\cdot dz^{(5)})$$ $$\Rightarrow D_{z^{(5)}}f(z^{(5)}) =D_{a^{(5)}}f(a^{(5)})* 1(z^{(5)}\geq 0)^{T}\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{z^{(5)}}f(z^{(5)}) =\bigtriangledown_{a^{(5)}}f(a^{(5)})* 1(z^{(5)}\geq 0) \in R^{N\times 120}$$

其他梯度

$$z^{(5)}=a^{(4)}\cdot W^{(5)}+b^{(5)} \\ dz^{(5)}=da^{(4)}\cdot W^{(5)}+a^{(4)}\cdot dW^{(5)}+db^{(5)}$$ $$d(dataloss)=tr(D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot dz^{(5)}) =tr(D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot (da^{(4)}\cdot W^{(5)} + a^{(4)}\cdot dW^{(5)} + db^{(5)}))\\ =tr(D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot da^{(4)}\cdot W^{(5)}) +tr(D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot a^{(4)}\cdot dW^{(5)}) +tr(D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot db^{(5)}))$$

求权重矩阵$W^{(5)}$梯度

$$d(dataloss)=tr(D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot a^{(4)}\cdot dW^{(5)})$$ $$\Rightarrow D_{W^{(5)}}f(W^{(5)}) =D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot a^{(4)}\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{W^{(5)}}f(W^{(5)}) =(a^{(4)})^{T}\cdot \bigtriangledown_{z^{(5)}}f(z^{(5)}) =R^{400\times N}\cdot R^{N\times 120} =R^{400\times 120}$$

求偏置向量$b^{(5)}$梯度

$$d(dataloss)=tr(\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot db^{(5)})$$ $$\Rightarrow D_{b^{(5)}}f(b^{(5)})=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{b^{(5)}}f(b^{(5)}) =\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} \bigtriangledown_{z^{(5)}}f(z^{(5)}) \in R^{1\times 120}$$

$M=N$, 表示$dz^{(5)}$的行数

求上一层输出向量$a^{(4)}$梯度

$$d(dataloss)=tr(D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot da^{(4)}\cdot W^{(5)}) =tr(W^{(5)}\cdot D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot da^{(4)})$$ $$\Rightarrow D_{a^{(4)}}f(a^{(4)}) =W^{(5)}\cdot D_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{a^{(4)}}f(a^{(4)}) =\bigtriangledown_{z^{(5)}}f(z^{(5)})\cdot (W^{(5)})^{T} =R^{N\times 120}\cdot R^{120\times 400} =R^{N\times 400}$$

池化层$S4$

计算$z^{(4)}$梯度

因为$a^{(4)}\in R^{N\times 400}$，$output^{(4)}\in R^{N\times 16\times 5\times 5}$，$z^{(4)}\in R^{(N\cdot 400)}$，卷积层$C5$滤波器空间尺寸为$5\times 5$，和激活图大小一致，所以$z^{(4)}$梯度是$a^{(4)}$梯度矩阵的向量化

$$dz^{(4)} = dvec(a^{(4)})$$ $$\Rightarrow D_{z^{(4)}}f(z^{(4)})=vec(D_{a^{(4)}}f(a^{(4)}))\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{z^{(4)}}f(z^{(4)})=vec(\bigtriangledown_{a^{(4)}}f(a^{(4)}))$$

上一层输出向量$a^{(3)}$梯度

$$z^{(4)}=\max (a^{(3)})\\ dz^{(4)}=1(a^{(3)}\ is\ the\ max)* da^{(3)}$$

配合$argz^{(4)}$，最大值梯度和$z^{(4)}$一致，其余梯度为$0$

$$d(dataloss)=tr(D_{z^{(4)}}f(z^{(4)}) dz^{(4)})\\ =tr(D_{z^{(4)}}f(z^{(4)})\cdot 1(a^{(3)}\ is\ the\ max)* da^{(3)}) =tr(D_{z^{(4)}}f(z^{(4)})* 1(a^{(3)}\ is\ the\ max)^{T}\cdot da^{(3)}$$ $$\Rightarrow D_{a^{(3)}}f(a^{(3)})=D_{z^{(4)}}f(z^{(4)})* 1(a^{(3)}\ is\ the\ max)^{T}\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{a^{(3)}}f(a^{(3)}) =\bigtriangledown_{z^{(4)}}f(z^{(4)})* 1(a^{(3)}\ is\ the\ max) \in R^{(N\cdot 400)\times 4}$$

卷积层$C3$

计算$y^{(3)}$梯度

因为$a^{(3)}\in R^{(N\cdot 400)\times 4}$，$output^{(3)}\in R^{N\times 16\times 10\times 10}$，$y^{(3)}\in R^{(N\cdot 100)\times 16}$，池化层$S4$滤波器空间尺寸为$5\times 5$，步长为$1$，按照采样顺序将$a^{(3)}$梯度重置回$output^{(3)}$梯度，再重置为$y^{(3)}$梯度

求输入向量$z^{(3)}$梯度

$$y^{(3)} = relu(z^{(3)})\\ dy^{(3)} = 1(z^{(3)} \geq 0)*dz^{(3)}$$ $$d(dataloss) =tr(D_{y^{(3)}}f(y^{(3)})\cdot dy^{(3)})\\ =tr(D_{y^{(3)}}f(y^{(3)})\cdot (1(z^{(3)} \geq 0)*dz^{(3)}))\\ =tr(D_{y^{(3)}}f(y^{(3)})* 1(z^{(3)} \geq 0)^{T}\cdot dz^{(3)})$$ $$\Rightarrow D_{z^{(3)}}f(z^{(3)}) =D_{y^{(3)}}f(y^{(3)})* 1(z^{(3)} \geq 0)^{T}\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{z^{(3)}}f(z^{(3)}) =\bigtriangledown_{y^{(3)}}f(y^{(3)})* 1(z^{(3)} \geq 0) \in R^{(N\cdot 100)\times 16}$$

其他梯度

$$z^{(3)}=a^{(2)}\cdot W^{(3)}+b^{(3)} \\ dz^{(3)}=da^{(2)}\cdot W^{(3)}+a^{(2)}\cdot dW^{(3)}+db^{(3)}$$ $$d(dataloss)=tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot dz^{(3)})\\ =tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot (da^{(2)}\cdot W^{(3)} + a^{(2)}\cdot dW^{(3)} + db^{(3)}))\\ =tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot da^{(2)}\cdot W^{(3)}) +tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot a^{(2)}\cdot dW^{(3)}) +tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot db^{(3)}))$$

求权重矩阵$W^{(3)}$梯度

$$d(dataloss)=tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot a^{(2)}\cdot dW^{(3)})$$ $$\Rightarrow D_{W^{(3)}}f(W^{(3)}) =D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot a^{(2)}\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{W^{(3)}}f(W^{(3)}) =(a^{(2)})^{T}\cdot \bigtriangledown_{z^{(3)}}f(z^{(3)}) =R^{150\times (N\cdot 100)}\cdot R^{(N\cdot 100)\times 16} =R^{150\times 16}$$

求偏置向量$b^{(3)}$梯度

$$d(dataloss)=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot db^{(3)})$$ $$\Rightarrow D_{b^{(3)}}f(b^{(3)}) =\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{b^{(3)}}f(b^{(3)}) =\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} \bigtriangledown_{z^{(3)}}f(z^{(3)}) =R^{1\times 16}$$

$M=N\cdot 100$，表示$dz^{(3)}$的行数

求上一层输出向量$a^{(2)}$梯度

$$d(dataloss)=tr(D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot da^{(2)}\cdot W^{(3)}) =tr(W^{(3)}\cdot D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot da^{(2)})$$ $$\Rightarrow D_{a^{(2)}}f(a^{(2)}) =W^{(3)}\cdot D_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{a^{(2)}}f(a^{(2)}) =\bigtriangledown_{z^{(3)}}f(z^{(3)})\cdot (W^{(3)})^{T} =R^{(N\cdot 100)\times 16}\cdot R^{16\times 150} =R^{(N\cdot 100)\times 150}$$

池化层$S2$

计算$z^{(2)}$梯度

因为$a^{(2)}\in R^{(N\cdot 100)\times 150}$，$output^{(2)}\in R^{N\times 6\times 14\times 14}$，$z^{(2)}\in R^{(N\cdot 1176)}$，卷积层$C3$滤波器空间尺寸为$5\times 5$，步长为$1$，所以按照采样顺序将$a^{(2)}$梯度重置回$output^{(2)}$梯度，再重置为$z^{(2)}$梯度

上一层输出向量$a^{(1)}$梯度

$$z^{(2)}=\max (a^{(1)})\\ dz^{(2)}=1(a^{(1)}\ is\ the\ max)* da^{(1)}$$

配合$argz^{(2)}$，最大值梯度和$z^{(2)}$一致，其余梯度为$0$

$$d(dataloss)=tr(D_{z^{(2)}}f(z^{(2)}) dz^{(2)})\\ =tr(D_{z^{(2)}}f(z^{(2)})\cdot 1(a^{(1)}\ is\ the\ max)* da^{(1)}) =tr(D_{z^{(2)}}f(z^{(2)})* 1(a^{(1)}\ is\ the\ max)^{T}\cdot da^{(1)}$$ $$\Rightarrow D_{a^{(1)}}f(a^{(1)})=D_{z^{(2)}}f(z^{(2)})* 1(a^{(1)}\ is\ the\ max)^{T}\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{a^{(1)}}f(a^{(1)}) =\bigtriangledown_{z^{(2)}}f(z^{(2)})* 1(a^{(1)}\ is\ the\ max) \in R^{(N\cdot 1176)\times 4}$$

卷积层$C1$

计算$y^{(1)}$梯度

因为$a^{(1)}\in R^{(N\cdot 1176)\times 4}$，$output^{(1)}\in R^{N\times 6\times 28\times 28}$，$y^{(1)}\in R^{(N\cdot 784)\times 6}$，池化层$S2$滤波器空间尺寸为$2\times 2$，步长为$2$，按照采样顺序将$a^{(1)}$梯度重置回$output^{(1)}$梯度，再重置为$y^{(1)}$梯度

求输入向量$z^{(1)}$梯度

$$y^{(1)} = relu(z^{(1)})\\ dy^{(1)} = 1(z^{(1)} \geq 0)*dz^{(1)}$$ $$d(dataloss) =tr(D_{y^{(1)}}f(y^{(1)})\cdot dy^{(1)})\\ =tr(D_{y^{(1)}}f(y^{(1)})\cdot (1(z^{(1)} \geq 0)*dz^{(1)}))\\ =tr(D_{y^{(1)}}f(y^{(1)})* 1(z^{(1)} \geq 0)^{T}\cdot dz^{(1)})$$ $$\Rightarrow D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})=D_{y^{(1)}}f(y^{(1)})* 1(z^{(1)} \geq 0)^{T}\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{z^{(1)}}f(z^{(1)}) =\bigtriangledown_{y^{(1)}}f(y^{(1)})* 1(z^{(1)} \geq 0) \in R^{N\times 784\times 6}$$

其他梯度

$$z^{(1)}=a^{(0)}\cdot W^{(1)}+b^{(1)} \\ dz^{(1)}=da^{(0)}\cdot W^{(1)}+a^{(0)}\cdot dW^{(1)}+db^{(1)}$$ $$d(dataloss)=tr(D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot dz^{(1)}) =tr(D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot (da^{(0)}\cdot W^{(1)} + a^{(0)}\cdot dW^{(1)} + db^{(1)}))\\ =tr(D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot da^{(0)}\cdot W^{(1)}) +tr(D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot a^{(0)}\cdot dW^{(1)}) +tr(D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot db^{(1)}))$$

求权重矩阵$W^{(1)}$梯度

$$d(dataloss)=tr(D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot a^{(0)}\cdot dW^{(1)})$$ $$\Rightarrow D_{W^{(1)}}f(W^{(1)}) =D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot a^{(0)}\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{W^{(1)}}f(W^{(1)}) =(a^{(0)})^{T}\cdot \bigtriangledown_{z^{(1)}}f(z^{(1)}) =R^{25\times (N\cdot 784)}\cdot R^{(N\times 784)\times 6} =R^{25\times 6}$$

求偏置向量$b^{(1)}$梯度

$$d(dataloss)=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} tr(D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\cdot db^{(1)})$$ $$\Rightarrow D_{b^{(1)}}f(b^{(1)})=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} D_{z^{(1)}}f(z^{(1)})\\ \Rightarrow \bigtriangledown_{b^{(1)}}f(b^{(1)})=\frac {1}{M} \sum_{i=1}^{M} \bigtriangledown_{z^{(1)}}f(z^{(1)}) \in R^{1\times 6}$$

$M=N\cdot 784$, 表示$dz^{(1)}$的行数

小结

矩阵计算的优缺点

• 优点：逻辑简单，易于理解
• 缺点：占用额外内存（因为计算过程中每层数据体的值都应用在矩阵多个位置）