概率论基础

参考PCA数学原理，小结PCA求解过程中相关的概率论基础

方差和协方差

参考：协方差

方差参考方差 标准差，用于衡量一组数据的离散程度，值越大，表示数据分布越广

$$Var(X) = D(X) = \frac {1}{N} \sum_{i=1}^{N}(x_{i} - \mu)^{2}$$

协方差用于判断两组数据之间的相关程度，直观上看，协方差是两个变量总体误差的期望

$$Cov(X,Y) = E[(X-E(X)(Y-E(Y))] =\frac {1}{N} \sum_{i=1}^{N}(x_{i} - \mu_{x})(y_{i} - \mu_{y})$$

协方差矩阵

参考：

实对称矩阵

协方差矩阵

设$X=(X_{1}, X_{2}, …, X_{N})^{T}$为$n$维随机变量，称矩阵

$$C = (c_{ij})_{n\times n} =\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{pmatrix}$$

为$n$维随机变量$X$的协方差矩阵（covariance matrix），记为$D(X)$，其中

$$c_{ij} = Cov(X_{i}, X_{j}),i,j=1,2,...,n$$

为$X$的分量$X_{i}$和$X_{j}$的协方差

以二维随机变量(X_{1}, X_{2})为例，协方差为

$$C = \begin{pmatrix} E[X_{1} - E(X_{1})]^{2} & E[X_{1} - E(X_{1})]E[X_{2} - E(X_{2})]\\ E[X_{2} - E(X_{2})]E[X_{1} - E(X_{1})] & E[X_{2} - E(X_{2})]^{2} \end{pmatrix}$$

所以协方差矩阵是实对称矩阵（元素为实数，矩阵转置等于本身）

协方差矩阵$C$的对角元素$c_{ii}$表示变量$X_{i}$的方差，非对角元素$c_{ij}$表示变量$X_{i}$和$X_{j}$的协方差