概率论基础

参考PCA数学原理,小结PCA求解过程中相关的概率论基础

方差和协方差

参考:协方差

方差参考方差 标准差,用于衡量一组数据的离散程度,值越大,表示数据分布越广

协方差用于判断两组数据之间的相关程度,直观上看,协方差是两个变量总体误差的期望

协方差矩阵

参考:

实对称矩阵

协方差矩阵

设$X=(X_{1}, X_{2}, …, X_{N})^{T}$为$n$维随机变量,称矩阵

为$n$维随机变量$X$的协方差矩阵(covariance matrix),记为$D(X)$,其中

为$X$的分量$X_{i}$和$X_{j}$的协方差

以二维随机变量(X_{1}, X_{2})为例,协方差为

所以协方差矩阵是实对称矩阵元素为实数,矩阵转置等于本身

协方差矩阵$C$的对角元素$c_{ii}$表示变量$X_{i}$的方差,非对角元素$c_{ij}$表示变量$X_{i}$和$X_{j}$的协方差

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