正则化

泰勒公式

设$n$是一个正整数，如果定义一个包含$a$的区间上的函数$f$在$a$点处$n+1$次可导，那么对于区间上的任意x，都有：

$f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+R_{n}(x)$

其中的多项式称为函数在$a$点处的泰勒展开式，剩余的$R_{n}(x)$是泰勒展开式的余项，是$(x-a)^{n}$的高阶无穷小

范数

范数（norm）常被用于度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。通用计算公式如下：

$\|x\|_{p}=\left(\sum_{i}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1 / p}$

常用的范数包括L0/L1/L2范数

0-范数，计算向量中非零元素的个数
1-范数，又称为L1范数，计算向量中各元素绝对值之和

$\left \| X \right \| = \left | X \right | = \left | x_{1} \right |+\left |x_{2} \right |+...+\left | x_{n} \right |$

2-范数，又称为L2范数，计算向量中各元素之间距离（欧式距离）之和

$\left \| X \right \|_{2} = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}$

在深度学习或机器学习中，一方面要提高算法泛化能力，另一方面要避免算法过拟合

正则化（regularization）指的是最小化算法结构风险，其目的就是为了防止算法过拟合，提高泛化能力

常用的方法包括

权重惩罚（weight penalty）
提前停止策略（early stopping）
随机失活（dropout）
最大值上限（max-upper constraint）

权重惩罚

参考：

机器学习中的范数规则化之（一）L0、L1与L2范数

L1 Norms versus L2 Norms

l1正则与l2正则的特点是什么，各有什么优势？

根据泰勒公式可知，如果函数足够光滑的话，可以用泰勒展开式近似。对于非线性函数而言，可以替换成如下形式

$h(x;\theta) =w_{0}+w_{1}\cdot x+w_{2}\cdot x^{2}+...+w_{n}\cdot x^{n}$

参数$\theta=(w_{0},w_{1},…,w_{n})$，一次项是$w_{1}\cdot x$，$x$次数高于2的项统称为高次项

一方面算法增加高次项能够提高拟合能力；另一方面高次项的系数变化对整个算法的影响更大，过高的系数会导致算法过拟合

为了防止算法过拟合，需要在损失函数中加上正则化项，常用的有L1/L2正则化

L1正则化使用L1范数加上超参数$\lambda$作为正则化项，目标函数实现如下：

$obj(x;\theta) = loss(x;\theta)+\lambda \left \| \theta \right \| =loss(x;\theta)+\lambda \left | \theta \right |$

求导如下：

$\frac{\varphi O}{\varphi w_{i}}=\frac{\varphi L}{\varphi w_{i}}+\lambda$

L2正则化使用L2范数（通常去除开根号）加上超参数$\lambda$作为正则化项，目标函数实现如下：

$obj(x;\theta) = loss(x;\theta)+\frac{1}{2} \lambda \left \| \theta \right \|_{2} =loss(x;\theta)+\frac{1}{2} \lambda \theta^{2}$

求导如下

$\frac{\varphi O}{\varphi w_{i}}=\frac{\varphi L}{\varphi w_{i}}+\lambda w_{i}$

从导函数可知，使用L1范数作为正则化项会导致训练后的权重向量变得稀疏（sparse），即某些权重非常接近于0，因为每次梯度更新都会减去一个固定大小正则化梯度；使用L2范数作为正则化项会导致训练后的权重向量变得平均（diffuse），因为在梯度更新过程中，权重值越大，其减去的梯度也会更大

使用L1范数更有利于特征选择，使用L2范数能够抑制大权值对网络的影响，充分利用所有权重向量。在实践过程中，通常使用L2范数作为正则化项

不需要惩罚$w_{0}$，因为它没有和输入数据进行乘法交互，不会放大拟合能力。在实际使用中，惩罚$w_{0}$几乎不会导致性能显著下降

提前停止

提前停止是一个训练策略，最开始训练过程中，训练集和验证集的错误率都在下降，但训练多轮之后，模型可能会开始进一步学习噪声，此时训练集的错误率在下降但是验证集的错误率会提高。在这种情况下可以中止训练，通过调整超参数来防止模型过拟合

随机失活

针对网络结构模型，通过在训练过程中随机移除网络中的某些节点，能够防止网络的过拟合，提高泛化能力

随机失活的优势如下：

防止节点之间权重依赖性，提高节点自适应能力
实践证明，组合多个网络的模型能够有效提高泛化能力，随机失活操作相当于同时训练多个稀疏网络

最大值上限

最大值上限（max-upper constraint），也称为最大范数限制（max-norm constraint）用于避免权重过大，防止权重爆炸

设置一个最大值$c$（通常设置为3或4，可通过验证集测试），计算每个神经元的权重向量$\overrightarrow{w}$的L-2范数（平方和），如果$||\overrightarrow{w}||_{2} > c$，就缩放权重向量到$||\overrightarrow{w}||_{2} = c$

$w = \frac {w}{\sqrt{\sum (w^{2})}}\cdot c$