梯度下降

参考:梯度下降

梯度下降是求解函数最小值的算法,也称为最速下降法,它通过梯度更新不断的逼近最优解

常用的比喻是下山问题,通过计算梯度能够找到函数值变化最快的地方,通过步长决定收敛的速度

梯度下降方法包括批量梯度下降、随机梯度下降和小批量梯度下降,下面通过梯度下降计算多变量线性回归问题

多变量线性回归

参考线性回归

其中

多变量测试数据

使用UCI提供的计算机硬件数据集machine-data,其包含10类数据

  1. vendor name: 厂商名
  2. Model Name: 型号名
  3. MYCT: 机器周期(/ns)
  4. MMIN: 主存最小值(/KB)
  5. MMAX: 主存最大值(/KB)
  6. CACH: 缓存大小(/KB)
  7. CHMIN: 通道最小值
  8. CHMAX: 通道最大值
  9. PRP: 相对性能
  10. ERP: cpu相对性能

使用第3-8项作为训练数据,使用第9项作为真实数据进行训练

批量梯度下降

批量梯度下降(batch gradient descent)每次迭代将所有样本数据都加入计算,其损失函数MSE如下:

批量求导如下

其中$x_{j,i}$表示第$j$行第$i$列,$X[i]$表示第$i$列

随机梯度下降

随机梯度下降(stochastic gradient descent)每次更新仅使用一条数据,其损失函数MSE如下:

批量求导如下

其中$x_{j,i}$表示第$j$行第$i$列,$X[j]$表示第$j$行

在训练之前应该打乱训练集数据,以避免数据顺序对算法结果造成影响

小批量随机梯度下降

小批量梯度下降(small batch gradient descent)介于批量和随机梯度下降之间,每次更新使用给定数量的训练数据来更新参数,其损失函数MSE如下:

小批量求导如下

示例

使用numpy实现了批量梯度下降和随机梯度下降方法

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# -*- coding: utf-8 -*-

# @Time : 19-4-16 下午3:38
# @Author : zj


"""
梯度下降法计算线性回归问题
"""

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


def load_ex1_multi_data():
"""
加载多变量数据
"""
path = '../data/coursera2.txt'
datas = []
with open(path, 'r') as f:
lines = f.readlines()
for line in lines:
datas.append(line.strip().split(','))
data_arr = np.array(datas)
data_arr = data_arr.astype(np.float)

X = data_arr[:, :2]
Y = data_arr[:, 2]
return X, Y


def load_machine_data():
"""
加载计算机硬件数据
"""
data = np.loadtxt('../data/machine.data', delimiter=',', dtype=np.str)
# print(data)

x = data[:, 2:8].astype(np.float)
y = data[:, 8].astype(np.float)
# print(x)
# print(y)

return x, y


def draw_loss(loss_list):
"""
绘制损失函数值
"""
fig = plt.figure()
plt.plot(loss_list)

plt.show()


def init_weight(size):
"""
初始化权重,使用均值为0,方差为1的标准正态分布
"""
return np.random.normal(loc=0.0, scale=1.0, size=size)


def compute_loss(w, x, y):
"""
计算损失值
"""
n = y.shape[0]
return (x.dot(w) - y).T.dot(x.dot(w) - y) / n


def using_batch_gradient_descent():
"""
批量梯度下降
"""
x, y = load_machine_data()
extend_x = np.insert(x, 0, values=np.ones(x.shape[0]), axis=1)
w = init_weight(extend_x.shape[1])
# print(w)

n = y.shape[0]
epoches = 50
alpha = 1e-9
loss_list = []
for i in range(epoches):
temp = w - alpha * extend_x.T.dot(extend_x.dot(w) - y) / n
w = temp
loss_list.append(compute_loss(w, extend_x, y))
draw_loss(loss_list)


def using_stochastic_gradient_descent():
"""
随机梯度下降
"""
x, y = load_machine_data()
extend_x = np.insert(x, 0, values=np.ones(x.shape[0]), axis=1)
w = init_weight(extend_x.shape[1])
# print(w)
print(w.shape)

# 打乱数据
np.random.shuffle(extend_x)
print(extend_x.shape)
print(y.shape)

n = y.shape[0]
epoches = 20
alpha = 1e-9
loss_list = []
for i in range(epoches):
for j in range(n):
temp = w - alpha * (extend_x[j].dot(w) - y[j]) * extend_x[j].T / 2
w = temp
loss_list.append(compute_loss(w, extend_x, y))
draw_loss(loss_list)


def using_small_batch_gradient_descent():
"""
小批量梯度下降
"""
x, y = load_machine_data()
extend_x = np.insert(x, 0, values=np.ones(x.shape[0]), axis=1)
w = init_weight(extend_x.shape[1])
# print(w)
print(w.shape)

# 打乱数据
np.random.shuffle(extend_x)
print(extend_x.shape)
print(y.shape)

# 批量大小
batch_size = 16

n = y.shape[0]
epoches = 20
alpha = 5e-9
loss_list = []
for i in range(epoches):
for j in list(range(0, n, batch_size)):
temp = w - alpha * extend_x[j:j + batch_size].T.dot(
extend_x[j:j + batch_size].dot(w) - y[j:j + batch_size]) / batch_size
w = temp
loss_list.append(compute_loss(w, extend_x, y))
draw_loss(loss_list)


if __name__ == '__main__':
# using_batch_gradient_descent()
using_stochastic_gradient_descent()
# using_small_batch_gradient_descent()

批量梯度下降损失图

随机梯度下降损失图

小批量随机梯度下降损失图

3种梯度下降比较

参考:

批量梯度下降(BGD)、随机梯度下降(SGD)以及小批量梯度下降(MBGD)的理解

三种梯度下降的方式:批量梯度下降、小批量梯度下降、随机梯度下降

  • 批量梯度下降
    • 优点:每次更新需要计算所有样本,从而得到的梯度更具有代表性,所以损失值收敛速度最快
    • 缺点:由于每次梯度更新都需要计算所有样本,对于大样本数据训练需要更多的训练时间和训练资源
  • 随机梯度下降
    • 优点:每次更新仅需单个样本数据参与,权重更新速度快
    • 缺点:计算的梯度不一定符合整体最优路径,需要更多的迭代才能完成收敛
  • 小批量梯度下降:结合批量梯度下降和随机梯度下降的优点,小批量样本计算得到的梯度更接近全局样本,同时提高梯度计算和权重更新速度
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