数据结构-图2

参考:《大话数据结构》第7章 图

学习路径如下:

  1. 图的基本定义
  2. 顶点/边/图的关系本文学习内容
  3. 图的存储结构
  4. 深度/广度优先遍历
  5. 最小生成树

完整工程:zjZSTU/graph_algorithm

度/入度/出度

对于无向图$G=(V,E)$,如果边$(u,v)\in E$,则称顶点$u$和$v$互为邻接点(adjacent),即$u$和$v$相邻接

对于有向图$G=(V,E)$,如果弧<u,v>$\in E$,则称顶点$u$邻接顶点$v$,顶点$v$邻接顶点$u$

顶点$v$的度(degree)是和$v$相关联的边的数目,记为$TD(v)$

  • 入度

以顶点$v$为头的弧的数目称为$v$的入度(InDegree),记为$ID(v)$

  • 出度

以顶点$v$为尾的弧的数目称为$v$的出度(OutDegree),记为$OD(v)$

对于有向边<u,v>而言,顶点$u$是弧尾,顶点$v$是弧头,所以$ID(v)=1$, $OD(u)=1$

对无向图而言,仅存在度的概念;对于有向图而言,同时还存在入度和出度的概念,入度和出度之和就是该顶点的度:$ TD(v) = ID(v) + OD(v)$

路径

  • 路径

图$G(V,E)$中从顶点$u$到顶点$v$的路径(path)是一个顶点序列$(V=v_{0},v_{1},…,v_{m})$,其中$v_{0}=u, v_{m}=v, (v_{i-1}, v_{i})\subseteq E,1\leq i\leq m$

  • 回路或环(cycle)

第一个顶点和最后一个顶点相同的路径

  • 简单路径

序列中顶点不重复出现的路径

  • 简单回路或简单环

除了第一个顶点和最后一个顶点相同外,其余顶点不重复出现的回路

连通图/连通分量

参考:

连通图

连通分量

  • 连通图

在一个无向图$G$中,若从顶点$v_{i}$到顶点$v_{j}$有路径相连,则称$v_{i}$和$v_{j}$是连通的。如果图中任意两点都是连通的,那么图被称作是连通图

  • 强连通图

在图$G$中,如果对于每一对$u,v\subseteq V, u\neq v$,从$u$到$v$和从$v$到$u$都存在路径,则称$G$是强连通图

连通图是相对于无向图而言的,强连通图是相对于有向图而言的

  • 连通分量

无向图$G$的极大连通子图称为$G$的连通分量(connected component)。任何连通图(connected graph)的连通分量仅有一个,即是其自身,非连通的无向图有多个连通分量

  • 强连通分量

有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量

生成树

参考:

生成树算法

最小生成树

最小生成树之Kruskal算法

  • 生成树

如果连通图$G$的一个子图是一颗包含$G$的所有顶点的树,则该子图称为$G$的生成树(spanning tree

连通图的生成树是一个极小的连通子图,包含全部$n$个顶点,但只有足以构成一棵树的$n-1$条边

对于生成树而言,前提是它是连通图,也就是顶点之间有连接

  • 最小生成树

给定无向图$G=(V,E)$,$(u,v)$代表连接顶点$u$和$v$的边,$w(u,v)$代表此边的权重,如果存在生成树$T$使得$w(T)$最小(权值之和最小),那么称$T$为最小生成树(MST, Minimum Spanning Tree)

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